theta币（theta币吧）

如何理解Beta分布和Dirichlet分布

1. 如果给你一个硬币，投这个硬币有\theta的概率抛出Head，有(1-\theta)的概率抛出Tail。如果在未来抛了五次这个硬币，有三次是Head，有两次是Tail，这个\theta最有可能是多少呢？如果你必须给出一个确定的值，并且你完全根据目前观测的结果来估计\theta，那么\theta = 3/5。

2. 如果未来抛出五次硬币，全部都是Head。那么按照1中的逻辑，你将估计\theta为1。也就是说，你估计这枚硬币不管怎么投，都朝上！

3. 可是，你想这或许是巧合：世界上没有这么屌的硬币，硬币还是有一定可能抛出Tail的。就算观测到再多次的Head，抛出Tail的概率还是不可能为0。

4. 这时候，Bayesian公式横空出世。我们在估计\theta时，心中先有一个估计，即先验概率。这个估计，表现在Probability中，就是一个概率分布。通俗得来讲，我们不再认为\theta是个固定的值了。

5. 在上面的Bayesian公式中，p(\theta)就是个概率分布。这个概率分布可以是任何概率分布，比如高斯分布，比如我们想要说的Beta Distribution。下图是Beta(5,2)的概率分布图。如果我们将这个概率分布作为p(\theta)，那么我们在还未抛硬币前，便认为\theta很可能接近于0.8，而不大可能是个很小的值或是一个很大的值。即，我们在抛硬币前，便估计这枚硬币更可能有0.8的概率抛出正面。

6. 虽然p(\theta)可以是任何种类的概率分布，但是如果使用Beta Distribution，会让之后的计算更加方便。我们接着继续看便知道这是为什么了。况且，通过调节Beta Distribution中的a和b，你可以让这个概率分布变成各种你想要的形状！Beta Distribution已经很足够表达你事先对\theta的估计了。

7. 现在我们已经估计好了p(\theta)为一个Beta Distribution，那么p(X|\theta)是多少呢？其实就是个二项分布。继续以1中抛5次硬币抛出3次Head为例，X=抛5次硬币抛出3个Head的事件。

8. Bayesian公式下的p(X)是个Normalizer，或者叫做marginal probability。在\theta离散的情况下，p(X)就是\theta为不同值的时候，p(X|\theta)的求和。比如，如果我们事先估计硬币抛出正面的概率只可能是0.5或者0.8，那么p(X) = p(X|\theta=0.5) p(X|\theta=0.8)，计算时分别将\theta=0.5和\theta=0.8代入到7中的公式中。而如果我们用Beta Distribution，\theta的概率分布在[0,1]之间是连续的，所以要用积分。

9. p(\theta)是个Beta Distribution，那么在观测到X=抛5次硬币中有3个head的事件后，p(\theta|X)依旧是个Beta Distribution！只是这个概率分布的形状因为观测的事件而发生了变化。