爱思考问题的果果一直想:既然我们肯定了元朝统一全国的历史意义,为什么还要赞扬文天祥的抗元呢？

很有意思的问题，其实并不矛盾，我是这样认识的。
从全国统一的角度来说，元朝的行为是符合历史进程的，因为国家和民族的统一是中国历史发展的趋势。但是文天祥的行为并不违背这个趋势，我们赞扬他是因为他具有的高尚的民族气节，在面对外族入侵时的抵抗精神，还有“人生自古谁无死，；留取丹心照汗青”的品格。而并不肯定他的愚忠于腐朽没落的南宋王朝。
同样的例子还有岳飞的例子；肯定清朝统一时赞扬了史可法的气节等等。

1. P(X)是X的幂集, 由X的全体子集组成.
X = {1}, 故P(X) = {∅,{1}}.
∪是P(X)上的一个二元运算.
<P(X),∪>构成一个代数系统(其实是个幺半群).
因为∅∪∅ = ∅, ∅∪{1} = {1}, 可知∅是幺元, A正确, D不正确.
B中1根本不是P(X)中的元素, 不正确.
C中{1}不是幺元, 因为{1}∪∅ = {1} ≠ ∅.

2. A. 没有单位元.
对任意整数x, 总存在整数y > x, 此时x*y = x ≠ y, 即x不是单位.
B. 能构成一个群:
结合律: (a*b)*c = (a+b-1)*c = a+b+c-2 = a*(b+c-1) = a*(b*c).
单位元e = 1: 对任意整数a, a*e = a+1-1 = a, e*a = 1+a-1 = a.
逆元: 对任意整数a, 存在整数b = 2-a, 使得a*b = a+b-1 = 1 = e, b*a = b+a-1 = 1 = e.
C. 不是所有元素都有逆元.
首先有单位元e = 1, 因为对任意整数a, a*e = a = e*a.
但对a = 2, 不存在整数b使a*b = e, 即2没有逆元.
D. 不成立结合律.
例如a = -2, b = 0, c = 1.
(a*b)*c = ||a-b|-c| = 1, 但a*(b*c) = |a-|b-c|| = 3.
或者更容易看出来的是没有单位元.
因为a*b只能得到非负整数, 所以对整数b < 0, 对任意整数a都有a*b ≠ b.

附一下单位元和逆元的概念.
元素e称为单位元若对任意元素a都有a*e = e*a = a.
由结合律可推出单位元若存在则是唯一的.
对一个元素a, 元素b称为a的逆元, 若a*b = b*a = e (e是单位元, 已知是唯一的).
由结合律也可推出一个元素的逆元若存在则是唯一的.
另外还有左(右)单位元和左(右)逆元的概念, 比上述概念弱, 在某些代数系统中可以不唯一.